Subgrupos finitos de anillos de división


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1 FACULTAD DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE MURCIA TRABAJO FIN DE MÁSTER MÁSTER EN MATEMÁTICA AVANZADA Y PROFESIONAL Subgrupos finitos de anillos de división Jesús Hernández Gil Director: Ángel del Río Mateos Codirector: Osnel Broche Cristo CURSO ACADÉMICO 2014/2015

2 Mi más sincero agradecimiento a Ángel del Río Mateos por haberme guiado y ayudado a lo largo de este trabajo. No sólo agradezco su ayuda, sino también el esfuerzo que ha puesto en mí y en mis problemas. Agradezco también a Osnel Broche Cristo por haber asentado una perspectiva de estudio adecuada. Por último, agradezco a Adolfo Ballester-Bolinches y Enric Nart, que me sacaron de serios apuros. i

3 A Ana A mis padres Jesús y Elena A mi hermano David ii

4 Índice general Resumen 1 Abstract 2 Introducción 3 1. Notación y primeros resultados Grupos Anillos Teoría de Grupos finitos Grupos de Frobenius Grupos con subgrupos de Sylow cíclicos Grupos nilpotentes y grupos resolubles Teoría de Álgebras de dimensión finita El grupo de Brauer Valoración, índice de ramificación y grado residual Índice de ramificación y grado residual en cuerpos ciclotómicos Producto cruzado El cuerpo de los números p -ádicos Q p iii

5 3.6. Teorema de Wedderburn Subgrupos finitos de anillos de división Clasificación de los Z-grupos Clasificación de los subgrupos de anillos de división con 2-subgrupos cuaterniones 93 Notación 108 Índice alfabético 112 Bibliografía 115 iv

6 Resumen Este Trabajo de Fin de Máster trata sobre la clasificación de los subgrupos finitos del grupo multiplicativo formado por los elementos no nulos de un anillo de división. Esta clasificación, fue inicialmente planteada por I. N. Herstein, dando una solución parcial en [Her53] y fue resuelta completamente por S. A. Amitsur en [Ami55] en el año En los primeros capítulos del presente documento, se recopilan y desarrollan, los resultados necesarios para estudiar la clasificación de S. A. Amitsur, que está totalmente desarrollada en el Capítulo 4. Los capítulos centrales del documento, tratan aquellos resultados necesarios para la clasificación. En primer lugar, se desarrolla Teoría de Grupos finitos específica. Esto es, se estudian los grupos de Frobenius, y en particular los complementos de Frobenius. También se estudia la estructura de aquellos grupos que tienen todos sus subgrupos de Sylow cíclicos. En segundo lugar, se hace lo propio en Teoría de Álgebras de dimensión finita, introduciendo el grupo de Brauer, producto cruzado, Teoría de Valoraciones y Teorema de Wedderburn. También se estudia el cuerpo de los números p-ádicos Q p, pues tiene un papel relevante en algunas demostraciones. La clasificación se estructura de la siguiente forma. Primeramente, se clasifican los subgrupos de anillos de división con característica p > 0, debida a I. N. Herstein. La parte complicada de la clasificación es cuando consideramos anillos de división con característica cero. En este caso, dividimos el estudio en dos casos, dependiendo de las propiedades de un subgrupo G de un anillo de división D: cuando todos los subgrupos de Sylow de G son cíclicos (llamados Z-grupos) y cuando los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones. 1

7 Abstract In this dissertation we study the classification of finite subgroup of the multiplicative group of the nonzero elements of a division ring. This problem was initially raised by I. N. Herstein giving a partial solution in [Her53] and was completely solved by S. A. Amitsur in [Ami55] in In this document, the necessary background is collected and developed in the first chapters. The classification of Amitsur is fully developed in Chapter 4. The central chapters of the document develop several results required for the classification. First, we develop specific theory of finite groups. More precisely, we study Frobenius groups, and particularly Frobenius complements. Also, we study the structure of those groups that have all Sylow subgroup cyclic. Then we review the theory of finite dimensional algebras, introducing the Brauer group, crossed product and Wedderburn Theorem. The p-adic fields Q p are also studied, because it have a relevant role in some proofs. The classification is structured as follows. First, we classify the subgroup of division ring with characteristic p > 0. This is a result due to I. N. Herstein. The most difficult part is when we consider division rings with characteristic zero. For this, we divide the study into two cases, depending on the properties of a subgroup G of a division ring D: whether all Sylow subgroups of G are cyclic (called Z-groups) or the Sylow 2-subgroups of G are quaternions. 2

8 Introducción El objetivo de este documento es clasificar los subgrupos finitos de los anillos de división. Si D es un anillo de división, entendemos por subgrupos de D aquellos subgrupos del grupo multiplicativo D. Esta clasificación está desarrollada en el Capítulo 4, recogida en la demostración de los Teoremas 4.6 y El entorno donde se encuentran las demostraciones del documento es muy diverso, ya que se mezcla Teoría de Grupos finitos con Teoría de Cuerpos, álgebras de dimensión finita, valoraciones, etc. Se ha intentado hacer una exposición lo más autocontenida posible, pero conseguirlo al cien por cien haría este documento demasiado extenso, ya que algunos de los resultados utilizados son demasiado profundos. Éste es el caso del Teorema de la Norma de Hasse o de algunos resultados de Teoría de Cuerpos de Clases que necesitaremos usar. Para aquellos resultados que utilizamos sin dar demostración se proporcionan las referencias necesarias. El problema de determinar todos los subgrupos finitos de anillos de división, fue inicialmente propuesto por I. N. Herstein, que dio una solución parcial en el 1953 en [Her53], encontrando los subgrupos finitos de anillos de división de característica p > 0. Los subgrupos en este caso, son p -grupos cíclicos. Esto llevó a I. N. Herstein a conjeturar que todos los subgrupos finitos de anillos de división de orden impar son cíclicos. Sin embargo, la clasificación en el caso de característica cero, es mucho más compleja y fue completada por S. A. Amitsur en [Ami55] en el año Independientemente, poco después, la clasificación fue también obtenida por J. A. Green, aunque no la publicó. La conjetura de I. N. Herstein, fue refutada con la clasificación completa de S. A. Amitsur, que demostró que el menor subgrupo no cíclico de orden impar de un anillo de división tiene orden 63. Concretamente, este grupo es C 7 C 9 = a, b a 7 = b 9 = 1, a b = a 5. 3

9 Para la realización de este documento, se ha seguido estrechamente la estructura determinada por M. Shirvani y B. A. F. Wehrfritz en [Shi86] en la primera sección de su segundo capítulo. Se comienza estudiando el caso de característica p > 0, que es bastante sencillo debido al Teorema de Wedderburn. La parte complicada de la clasificación es cuando consideramos anillos de división con característica cero. Se comienza recogiendo algunas propiedades generales que tienen los subgrupos finitos en característica cero, continuando con el estudio de los subgrupos finitos de anillos de división que tienen todos sus subgrupos de Sylow cíclicos. Se termina estudiando los subgrupos de anillos de división que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones. La clasificación de los subgrupos finitos de anillos de división tiene múltiples aplicaciones. Por ejemplo, si G es un grupo finito y F es un cuerpo cuya característica sea coprima con el orden de F, entonces por el Teorema de Maschke, F G es un anillo semisimple. Por tanto, F G es isomorfo a un producto de anillos de matrices de anillos de división por el Teorema de Wedderburn-Artin. La expresión de F G como producto de anillos de matrices de anillos de división, se llama descomposición de Wedderburn de F G. La descomposición de Wedderburn de F G codifica información importante sobre algunos problemas. Por ejemplo, la descomposición de Wedderburn de QG proporciona información relevante sobre el grupo de unidades de ZG [Jes07] y en general, la descomposición de Wedderburn de F G sirve para calcular el grupo de automorfismos de F G. Si D es un anillo de división de la descomposición de Wedderburn de F G, entonces la imagen de la proyección de G en D es un subgrupo finito de D que genera D sobre F. Por tanto, las componentes de F G, que son álgebras de división, se pueden determinar con los cocientes de G que son subgrupos de álgebras de división. Por otro lado, si G es un subgrupo de un álgebra de división, entonces G tiene una representación irreducible ρ tal que el único elemento g de G para el que 1 es un autovalor de ρ(g), es g = 1. Los grupos que tienen esta propiedad se llaman grupos libres de puntos fijos y tienen importancia en Teoría de Grupos, pues son exactamente los complementos de Frobenius [Pas68]. La clasificación de los grupos libres de puntos fijos es un problema abierto de Teoría de Grupos [Bro01]. Un resultado bastante fácil de demostrar pero de gran utilidad, es que cada subgrupo finito de un cuerpo es cíclico. En [Ham53], Hamilton descubrió el álgebra de cuaterniones Hamiltonianos H(R) = R Ri Rj Rij, con i 2 = j 2, ij = ji. Dentro de este álgebra, encontramos el grupo de cuaterniones Q 8 = i, j = {±1, ±i, ±j, ±ij}, que es uno de los grupos no abelianos 4

10 de orden 8. El otro grupo, es el diédrico D 8 = a, b a 4 = b 2 = 1, a b = a 2, que no es subgrupo de ningún anillo de división. Pero Q 8 no es el único subgrupo finito del grupo de unidades de H(R). Por ejemplo, observamos que (i + j + ij) 2 = 3 y teniendo en cuenta que ζ 3 = es una raíz cúbica primitiva de la unidad, concluimos que si c = 1+i+j+ij 2 entonces c 3 = 1. Pero además, c 1 ic = j y c 1 jc = ij. Esto implica que i, j, c es un subgrupo del grupo de las unidades de H(R) de orden 24. El grupo i, j, c resulta ser isomorfo a SL(2, 3), el grupo multiplicativo de las matrices 2 2 de determinante 1 con entradas en Z/3Z. Estos ejemplos, muestran que la familia de subgrupos finitos de álgebras de división es mucho más rica que la de subgrupos finitos de cuerpos. Que un grupo G sea subgrupo finito de un anillo de división implique que sea un complemento de Frobenius, es un resultado de gran relevancia en el estudio. Usando resultados de [Pas68] sobre complementos de Frobenius, obtenemos muchas propiedades sobre la estructura de G. Por ejemplo, que todos los p-subgrupos de Sylow de G son cíclicos, excepto si p = 2, en cuyo caso pueden ser también cuaterniones. Cuando todos los subgrupos de Sylow de G son cíclicos, llamamos a G un Z-grupo, y por el Teorema 2.16 es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos de orden coprimo. El Capítulo 1, lo dedicamos a introducir la notación y algunos resultados. Separamos la notación relativa a grupos de la relativa a anillos. En la sección de grupos, se ven resultados básicos. Cabe destacar la notación introducida sobre grupos cíclicos, producto metacíclico y la introducción de los grupos relevantes en nuestro estudio. En la sección de anillos, se introduce Teoría de Extensiones de Cuerpos, el producto tensorial de álgebras, el álgebra de cuaterniones y el anillo de enteros de los cuerpos de números. En el Capítulo 2 se recogen los resultados no tan elementales y que no son propios de la bibliografía clásica sobre grupos. Se exponen los resultados necesarios sobre grupos de Frobenius, donde se exponen sin demostrar algunos resultados de gran calibre y que escapan de nuestro propósito. Con el fin de ver que un grupo con todos los subgrupos de Sylow cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, se recogen resultados sobre grupos resolubles y una generalización del Teorema de Frobenius sobre el número de soluciones de la ecuación x n = 1 en un grupo finito G. En una última sección, se introduce la definición de grupo superresoluble, 5

11 se estudian algunas propiedades de grupos nilpotentes finitos y de grupos resolubles que son utilizadas en la demostración del Teorema En el Capítulo 3, se expone gran variedad de contenidos sobre álgebras de dimensión finita, donde no siempre se da la demostración de los resultados. En primera instancia, se introduce el grupo de Brauer y se estudian algunas de sus propiedades. Se introduce al lector en la Teoría de Valoraciones sobre cuerpos y se recogen resultados sobre índice de ramificación y grado residual en el caso de extensiones ciclotómicas, que entran en juego en nuestro estudio. Estudiamos el producto cruzado y las álgebras cíclicas, ya que para un grupo que es producto semidirecto de dos grupos cíclicos de órdenes coprimos, y en particular un Z-grupo, siempre podemos construir un álgebra cíclica que lo contenga. Dedicamos una sección a estudiar el cuerpo de los números p-ádicos Q p, estudiando su estructura multiplicativa. En Q p, estudiamos cuando un elemento es un cuadrado o suma de cuadrados, que servirá para determinar cuando H(Q p ) es un anillo de división. También estudiamos el índice de ramificación y grado residual cuando añadimos a Q p una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Por último, una sección está dedicada al Teorema de Wedderburn: Todo anillo de división finito es un cuerpo. El Capítulo 4 clasifica los subgrupos finitos de anillos de división. La primera parte estudia los subgrupos en característica p > 0. En característica cero, separamos el estudio en dos casos: los subgrupos finitos que tienen todos los subgrupos de Sylow cíclicos (Z-grupos) y los que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones. Si G es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos de orden coprimo, podemos construir un álgebra cíclica A que contenga a G y que está generada por G como espacio vectorial sobre Q. De hecho, se demuestra que si G = C m C n con m.c.d.(m, n) = 1, entonces G es un Z-grupo si y sólo si el álgebra cíclica A que lo contiene es un anillo de división. Posteriormente, se estudia cuando un grupo de la forma (C p a C q b) C r es un Z-grupos, para p, q primos distintos y r un entero positivo coprimo con pq. De esta manera, se puede estudiar cuando un grupo genérico C m C n, con m y n coprimos, es un Z-grupo. Para los subgrupos de anillos de división con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones, se comienza con un estudio sistemático de los distintos casos posibles. En primer lugar, se estudia el único caso de subgrupo no resoluble de un anillo de división con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones. 6

12 Este grupo no resoluble es el grupo icosaedro binario SL(2, 5). Luego se estudian los grupos resolubles con 2-subgrupos cuaterniones, obteniendo las propiedades suficientes para determinar en cada caso la estructura del grupo. 7

13 Capítulo 1 Notación y primeros resultados En este primer capítulo, se fijará la notación que seguiremos a lo largo del documento. Separaremos la notación relativa a grupos de la relativa a anillos. Introduciremos también algunos resultados básicos que siguen la línea de las definiciones. Para la preparación de este capítulo hemos utilizado distintas referencias. Para grupos, se ha seguido [Rob96] y [Pas68]. Para anillos, se ha seguido [Pie82] y [Rei75]. Para algunos resultados sobre los anillos de enteros, se ha utilizado [Ste02] Grupos Esta sección fija la notación referente a grupos que utilizaremos a lo largo del documento. Empezamos viendo notación estándar de grupos y grupos simétricos. Estudiamos algunos resultados sobre grupos resolubles. Damos la definición de grupo metacíclico, producto semidirecto y extensión de grupos. Por último, introducimos algunos tipos de grupos que son tratados a lo largo del documento y estudiamos algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8. Si G es un grupo, denotamos por 1 G el elemento neutro de G si consideramos G con notación multiplicativa, mientras que si la notación de G es aditiva, denotamos el elemento neutro de G como 0 G. Cuando no haya lugar a confusión, denotaremos el elemento neutro de G simplemente por 1 ó 0. Denotamos por Aut(G) el grupo de automorfismos de G, con elemento 8

14 neutro denotado por Id G. Si H es un subgrupo de G, escribiremos H G. Denotamos por H el orden de H y por [G : H] el índice de H en G. El siguiente resultado es elemental de Teoría de Grupos, y podemos ver su demostración en [Rob96, ]. Proposición 1.1. Sean H y K subgrupos de un grupo G. Entonces se tiene: i) HK H K = H K, así que [H : H K] = HK / K si H y K son finitos. ii) [G : H K] [G : H] [G : K], con igualdad si los índices [G : H] y [G : K] son finitos y coprimos. Cuando N sea un subgrupo normal de G, lo denotaremos por N G y llamaremos a G/N grupo cociente de N en G ó factor de G por N. Definición 1.2. Un subgrupo H de G diremos que es un subgrupo de Hall si [G : H] y H son coprimos entre sí. Para un grupo G, denotamos por G # el conjunto formado por todos los elementos de G salvo el elemento neutro, es decir, G # = G\{1}. Definición 1.3. Sea G un grupo. Definimos el centro de G y lo denotamos por Z(G) como, Z(G) = {g G gh = hg para todo h G}. Definición 1.4. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y X un subconjunto no vacío de G. Definimos el centralizador de X en H como el conjunto C H (X) = {h H xh = hx para todo elemento x X}. Definición 1.5. Sean X un subconjunto no vacío de un grupo G y g un elemento de G. El conjugado de X por g es el subconjunto X g = g 1 Xg = {g 1 xg x X}. Se define el normalizador del subconjunto X en G como: N G (X) = {g G X g = X}. 9

15 Sea G un grupo. Denotemos por ρ g : G G la conjugación por el elemento g 1, es decir, para cada elemento h G, tenemos que ρ g (h) = ghg 1. Para cada g G, el homomorfismo ρ g es de hecho un automorfismo de G que llamamos automorfismo interno de G. Podemos definir ρ : G Aut(G), con ρ(g) = ρ g, que es un homomorfismo de grupos. Llamamos grupo de automorfismos internos a la imagen de ρ y lo denotamos por Inn(G). Proposición 1.6. Sea G un grupo. Entonces se tiene que G/Z(G) = Inn(G), y también que Inn(G) Aut(G). Si π es un conjunto no vacío de primos, un π-número es un entero positivo cuyos divisores primos pertenecen a π. LLamaremos π-grupo a un grupo finito G, si G es un π-número. Si para todo primo p π, se tiene que p G, entonces decimos que G es un π -grupo. El caso más importante es cuando π = {p}. En este caso, si G es un π-grupo diremos que G es un p-grupo y si G es un π -grupo, diremos que G es un p -grupo. Supongamos ahora que G = p a m, para p un primo, con m.c.d.(p, m) = 1. Un p-subgrupo de G de orden p a es llamado un p-subgrupo de Sylow de G. Se exponen ahora los conocidos Teoremas de Sylow cuya demostración puede ser vista en [Rob96, ]. Teorema 1.7. (Teoremas de Sylow) Sean G un grupo finito y p un número primo. Escribimos G = p a m, donde el entero m no es divisible por p. Entonces: i) Todo p-subgrupo de G está contenido en un p-subgrupo de Sylow de G. En particular, como 1 es un p-subgrupo de G, los p-subgrupos de Sylow siempre existen. ii) Si n p denota el número de p-subgrupos de Sylow de G, entonces n p 1 mód p, y n p m. iii) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados en G. Sean π un conjunto de primos y G un grupo finito de manera que si p π, entonces p divide al orden de G. El subgrupo de G generado por todos los π-subgrupos de G normales es un π-subgrupo de G normal maximal único ([Rob96, págs ]). Denotamos por O π (G) al π-subgrupo de G normal maximal. De igual manera, O π (G) denotará al π -subgrupo de G normal maximal. 10

16 Sea A un conjunto no vacío, denotamos por Sym(A) el grupo formado por las biyecciones de A en A junto con la composición. Un grupo de permutaciones de A es un subgrupo de Sym(A). Un grupo G de permutaciones de A se dirá transitivo si para cada par de elementos a, b A existe σ G de manera que σ(a) = b. Para cada a A, llamamos estabilizador de a en G al subgrupo G a de G formado por los elementos de G que dejan fijo al elemento a, es decir, G a = {σ G σ(a) = a}. Si para todo a A se tiene que G a = 1, entonces se dice que el grupo G es semirregular. Si G es transitivo y semirregular, entonces diremos que G es regular. Para a, b A, con a b, denotamos G a, b = G a G b. Sean G un grupo y X un conjunto no vacío. Entendemos acción por la derecha de G en X como una aplicación ρ : X G X de manera que ρ(x, g 1 g 2 ) = ρ(ρ(x, g 1 ), g 2 ) y ρ(x, 1 G ) = x, para todo x X, g 1, g 2 G. Se define una acción por la izquierda de G en X, como una aplicación λ : G X X tal que λ(g 1 g 2, x) = λ(g 1, λ(g 2, x)) y λ(1 G, x) = x, para todo x X, g 1, g 2 G. Si tenemos una acción por la derecha ρ de un grupo G en un conjunto no vacío X, para cada x X, llamamos órbita de x al subconjunto de X, O(x) = {ρ(g, x) g G} (de manera análoga, se define para una acción por la izquierda). Decimos entonces que G actúa semirregularmente en X, si todas las órbitas de X tienen la misma dimensión. Sean ahora G y H dos grupos. Una representación de G por H es un homomorfismo de grupos f : H Aut(G). Si tenemos una representación f de G por H, entonces tenemos una acción ρ : H G G definida por ρ(h, g) = f(h)(g) para h H, g G. Siguiendo con la notación anterior, una representación se dice fiel si el homomorfismo f es inyectivo. Si X es un conjunto no vacío y G es un grupo, llamamos representación de permutación a un homomorfismo f : G Sym(X). Si tenemos η : G Sym(X), una representación de permutación, entonces γ : G X X, dada por γ(g, x) = η(g)(x), es una acción de G en X por la izquierda. En este caso, diremos que G actúa por automorfismos en X. Un grupo G decimos que es un grupo libre de puntos fijos, si tiene una representación por matrices ρ, con la propiedad de que 1 es valor propio de ρ(g) si y sólo si g = 1. 11

17 Supongamos que G es un grupo que actúa por la izquierda en dos conjuntos no vacíos X e Y con respectivas acciones λ y ρ. Supongamos también que tenemos una biyección φ : X Y. Entonces diremos que las acciones de G sobre X e Y son equivalentes, si para cada g G, el diagrama X φ Y X λ g φ Y ρ g es conmutativo, donde λ g (x) = λ(g, x) y ρ g (y) = ρ(g, y) para todo x X, y Y. De manera análoga, se define cuando dos representaciones son equivalentes. Pasemos ahora a ver algunos resultados sobre grupos resolubles. Sean G un grupo y x, y G, se define el conmutador de x e y como el elemento del grupo x 1 y 1 xy, que denotaremos por (x, y). Definimos también conmutadores de orden superior por la regla recursiva (x 1,..., x n 1, x n ) = ((x 1,..., x n 1 ), x n ), para x 1,..., x n G. Definición 1.8. El subgrupo G de G generado por todos los conmutadores x 1 y 1 xy se llama el subgrupo conmutador o grupo derivado de G. Inductivamente para i N, se define G (i) como el subgrupo derivado de G (i 1). Proposición 1.9. El factor G/G es abeliano. Si K es un subgrupo normal de G tal que G/K es abeliano, entonces K G. Definición Llamamos a un grupo G resoluble si G (n) = 1 para algún n N, n 1. Definición Una serie de composición de G es una sucesión 1 = G 0 G 1 G r = G de manera que los factores G i /G i 1 son simples para cada i = 1,..., r. A los factores G i /G i 1 se les llama factores de la serie de composición. Teorema Todo subgrupo y factor de un grupo resoluble es resoluble. 12

18 Definición Llamamos nilpotente a un grupo G si tiene una serie 1 = G 0 G 1 G r = G tal que G i /G i 1 Z(G/G i 1 ), para todo i = 1,..., r. El siguiente resultado es conocido como el Argumento de Frattini: Teorema (Argumento de Frattini ) Si H es un subgrupo normal finito de un grupo G y P es un p-subgrupo de Sylow de H, entonces G = N G (P )H. Demostración. Sea g G. Por ser H un subgrupo normal, sabemos que P g H, y P g es un p-subgrupo de Sylow de H. Por lo tanto, P g = P h para algún h H por los Teoremas de Sylow (Teorema 1.7). Por lo que, gh 1 N G (P ) y g N G (P )H. El siguiente Teorema de P. Hall, nos permitirá generalizar el Argumento de Frattini en el caso de grupos finitos resolubles. Su prueba se encuentra en en [Rob96, Teorema 9.1.7]. Teorema (P. Hall ) Sea G un grupo finito resoluble. Entonces todo π-subgrupo de G está contenido en un π-subgrupo de Hall de G. Además, todos los π-subgrupos de Hall de G son conjugados entre sí. Podemos dar ya la adaptación del Argumento de Frattini al caso de grupos finitos resolubles. Teorema Sean G un grupo finito resoluble y H un subgrupo normal de G. Si P es un π-subgrupo de Hall de H, entonces G = HN G (P ). Demostración. Se sigue de la demostración del Teorema 1.14 y del Teorema Definición Sean N y H dos grupos y α : H Aut(N) un homomorfismo, denotando α(h) = α h para todo h H. Definimos el producto semidirecto de N y H como el grupo denotado por N H, formado por los pares (n, h), para n N, h H, con la operación (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 α h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), 13

19 h 1, h 2 H, n 1, n 2 N. En estas condiciones, denotaremos también el producto semidirecto como N Ker(α) H, cuando queramos tener claro cuál es el núcleo de la acción de H en N. La anterior es la definición externa del producto semidirecto de dos grupos. La definición interna de producto semidirecto es la siguiente: sean G un grupo, N un subgrupo normal de G y H un subgrupo de G de manera que NH = G y N H = 1. Entonces, todo elemento g G se expresa de manera única de la forma hn, donde h H y n N. Decimos entonces que G es el producto semidirecto interno de N y H, y lo denotaremos por N H. Veamos que las anteriores definiciones de producto semidirecto externo e interno son equivalentes. Sea G = N H el producto semidirecto externo de N y H, con el homomorfismo asociado α : H Aut(N). Identificamos N en G vía el monomorfismo u N : N N H, dado por u N (n) = (n, 1 H ), para todo n N. Análogamente, identificamos H en G vía el monomorfismo u H : H N H, dado por u H (h) = (1 N, h), para todo h H. Mediante estas identificaciones está claro que u N (N) u H (H) = (1 N, 1 H ), y que u N (N)u H (H) = G. Además, u N (N) es un subgrupo normal de G, pues para cada n N, h H, tenemos que u N (n) u H(h) = (1 N, h 1 )(n, 1 H )(1 N, h) = (α h 1(n), h 1 )(1 N, h) = (α h 1(n)α h 1(1 N ), h 1 h) = (α h 1(n), 1 H ) u N (N). Y cada elemento g G se expresa de forma única como g = u N (n)u H (h), para algunos elementos n N, h H. Por otro lado, supongamos que G es el producto semidirecto interno de los subgrupos N y H, teniendo G = N H. Como N es un subgrupo normal, la aplicación α : H Aut(N), dado por α(h) = α h : N N, con α h (n) = n h, es un homomorfismo bien definido. El grupo G es isomorfo al producto semidirecto externo de los grupos N y H junto con el homomorfismo asociado α. Para un anillo A, A denota el grupo multiplicativo formado por los elementos invertibles de A. Proposición Sean n, d N, con d n. Si denotamos por π : Z/nZ Z/dZ la proyección natural, entonces se tiene que π (Z/nZ) : (Z/nZ) (Z/dZ), 14

20 es un epimorfismo. Demostración. Si d = 1 ó d = n, el resultado se tiene trivialmente. Así que, podemos suponer que d es un divisor propio de n. Sea x = x + dz (Z/dZ). Se tiene entonces que m.c.d.(d, x) = 1. Expresamos n = n 1 n 2, con m.c.d.(n 1, n 2 ) = 1, y n 1 cumpliendo la siguiente propiedad: un primo p divide a n 1 si y sólo si p divide a d. De esta manera m.c.d.(d, n 2 ) = 1. Si n 2 = 1, entonces m.c.d.(x, n) = 1, y π (Z/nZ) (x + nz) = x + dz. Así que podemos suponer que n 2 1. Por el Teorema Chino de los Restos, existe y Z de manera que: y x mód d y 1 mód n 2. Como d, n 2 1, y m.c.d.(d, x) = 1, ningún divisor primo de n divide a y. Por tanto, se tiene que y = y + nz (Z/nZ), y π (Z/nZ) (y) = x + dz = x. Para grupos cíclicos de orden n > 0, utilizamos la notación C n. Si d n, C n tiene un único subgrupo de orden d. Por esto, escribiremos C d C n, identificando C d con el único subgrupo de C n de orden d. Si C n es un grupo cíclico, entonces Aut(C n ) = ϕ(n), donde ϕ es la función de Euler. Vamos ahora a demostrar un resultado sobre el grupo de automorfismos de un grupo cíclico de orden potencia de un primo. Proposición Sea α un automorfismo de C p n, para p un primo. Si el orden de α es coprimo con p y la restricción de α a C p es trivial, entonces α = Id Cp n. Demostración. Si s Z, y a = C m entonces sea σ s : C m C m la aplicación dada por σ s (a x ) = a xs. La aplicación λ : Z Aut(C m ) dada por λ(s) = σ s, induce un isomorfismo de grupos λ m : (Z/mZ) Aut(C m ). Además, si d m, entonces tenemos un diagrama conmutativo (Z/mZ) λ m Aut(C m ) π (Z/dZ) λ d Aut(Cd ) R 15

21 donde π es el homomorfismo canónico y R denota la restricción. Supongamos que m = p n y d = p. Entonces el automorfismo α del enunciado es un elemento del núcleo de R, con lo que es de la forma σ s para algún s Z coprimo con p y tal que s 1 mód p. Es decir, la clase de s en Z/p n Z está en el núcleo de π : (Z/p n Z) (Z/pZ) y tiene orden coprimo con p en (Z/p n Z). Por la Proposición 1.18, π es suprayectiva, luego Ker(π) = ϕ(p n )/ϕ(p) = p n 1. Como s tiene orden coprimo con p en (Z/p n Z), deducimos que s 1 mód p n. Por tanto, se tiene α = σ s = Id Cp n. Sean n, m 1. Denotamos por O n (m) el orden multiplicativo de m módulo n, es decir, O n (m) = mín{k N m k 1 mód n}. El siguiente lema recoge algunas propiedades del orden multiplicativo. Lema a) Si n, r y s son relativamente primos, entonces O rs (n) = m.c.m.(o r (n), O s (n)). b) Sea q un número primo que divide a n 1 y sea i un entero positivo. i) Si q = 2 y n 1 mód 4, sea n 2 1 = 2 d t donde 2 t. Entonces: 1, si i = 1 O 2 i(n) = 2, si 2 i d 2 i d+1, si i > d ii) En todos los casos no cubiertos por i), sea n 1 = q d t donde q t. Entonces: 1, si i d O q i(n) = q i d, si i > d c) En general, si q es un número primo y m, i son enteros positivos con q m, entonces O q i(m) = O q (m)q a donde a = a(i) 0 está en función de i. 16

22 Demostración. El apartado a) es consecuencia inmediata del Teorema Chino de los Restos. Probemos el apartado b), dando en primer lugar una demostración para un primo q como en el subapartado ii). Asumamos, para algunos k y s, que q s es la máxima potencia de q que divide a n k 1, donde q > 2 ó s 2. Ahora tenemos que n k = 1 + q s m donde q m, y entonces n kq = (1 + q s m) q = n i=0 ( q i) (q s m) i 1 + q s+1 m mód q s+2. Ahora, q s+1 q s+2 (n kq 1 q s+1 m), por lo que q s+1 (n kq 1). Con esto hemos probado que si q s (n k 1), entonces q s+1 (n kq 1). Supongamos ahora también que k = O q s(n). Como q s q s+1 (n O q s+1 (n) 1), tenemos que k O q s+1(n), teniéndose además que O q s+1(n) kq. Ya que q s+1 no divide n k 1 tenemos que O q s(n) O q s+1(n), por lo que O q s+1(n) = qo q s(n). Esto prueba el subapartado ii). El argumento del anterior párrafo aplicado a n 2 1 = 8(2m 2 m), prueba el subapartado i). Si q (m 1), entonces c) es consecuencia de b), por lo que podemos suponer q (m 1). Como q m por hipótesis, entonces q 2. Sea k = O q (m), y sea d N el mayor natural de manera que q d (m k 1). Evidentemente se tiene O q (m) = = O q d(m) = k, y para i > d se tiene O q i(m) = q i d k, como queríamos demostrar. Sean N y G dos grupos. Una extensión de N por G es un grupo E que contiene un subgrupo normal M tal que M = N y E/M = G. En las anteriores condiciones, tendremos una sucesión exacta corta 1 N µ E ε G 1. Si tenemos una sucesión exacta corta como la anterior, cumpliendo Im(µ) = M = N, y E/M = G, al igual que antes, diremos que E es una extensión de N por G. Definición Un grupo G se dice metacíclico si contiene un subgrupo normal cíclico C de manera que G/C sea cíclico. En particular, el producto semidirecto de dos grupos cíclicos es un grupo metacíclico. Por último, antes de terminar esta sección dedicada a grupos, daremos la definición de algunos grupos que son de especial interés en nuestro estudio. 17

23 El grupo diédrico, es el grupo de simetrías de un polígono regular, esto es, rotaciones y reflexiones. Si el polígono tiene n lados, denotamos al grupo diédrico por D 2n y tenemos una presentación de la siguiente forma: D 2n = r, s r n = s 2 = 1, r s = r 1. Otro de los grupos que atendemos aquí es el grupo semidiédrico, un grupo no abeliano de orden una potencia de 2, y que denotamos SD 2 n con 2 n el orden del grupo. Este grupo, tiene una presentación: SD 2 n = r, s r 2n 1 = s 2 = 1, r s = r 2n 2 1. Ahora hacemos mención a un tipo de grupos que van a ser muy importantes en el estudio de los subgrupos finitos de anillos de división. El grupo de cuaterniones es un 2-grupo con 8 elementos, denotado por Q 8 con la siguiente presentación: Q 8 = x, y x 2 = y 2, y 4 = 1, x y = x 1. Sin embargo, necesitamos una generalización de este grupo, usualmente conocida como grupo de cuaterniones generalizado, pero que nosotros llamaremos siempre grupo de cuaterniones cuando no dé lugar a confusión. La generalización de los grupos de cuaterniones, es también un 2-grupo, que denotamos por Q 2 t donde 2 t es el orden del grupo. La presentación de este grupo viene dada por: Q 2 t = x, y x 2t 2 = y 2, y 4 = 1, x y = x 1. Sea A un anillo cualquiera. Denotamos por M n (A) al anillo de las matrices de dimensión n n con entradas en A, junto con su suma y producto usuales. Denotamos por GL(n, A) a M n (A). Sean n, m 1. Llamamos grupo especial lineal, y lo denotamos por SL(n, m), al subgrupo de GL(n, Z/mZ) formado por las matrices que tienen determinante 1. Exponemos ahora el grupo octaedro binario de orden 48, definido como la extensión del grupo octaedro por un grupo cíclico de orden 2. Una presentación para el grupo octaedro binario es, x, y, c x 4 = y 2, y 4 = 1, x y = x 1, (x 2 ) c = x 1 y, (x 1 y) c = xy 1, c y = c 2, c 3 = 1. 18

24 Sin embargo, tenemos otras presentaciones para el grupo octaedro binario, como: a, b (ab) 2 = a 3 = b 4 y r, s r 2 = s 3 = (rs) 4, r 4 = 1. El grupo SL(2, 5) es llamado grupo icosaedro binario, tiene 120 elementos y por [Pas68, Proposición 13.7], tiene una presentación: x, y, z x 3 = y 5 = z 2 = 1, z = (xy) 2, (x, z) = (y, z) = 1. Veamos ahora algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8. Proposición Sea Q el grupo de cuaterniones de orden 8. Entonces: i) Todo subgrupo propio de Q es cíclico. ii) Aut(Q) = S 4. iii) Si σ Aut(Q) tiene orden 3, entonces σ permuta transitivamente las tres clases no centrales de Q. Demostración. Sea H < Q tal que H 4. Como Q tiene un único elemento de orden 2, tenemos directamente que el subgrupo H es cíclico. Con esto, tenemos i). Ahora Q tiene tres subgrupos distintos de orden 4, digamos u, v y w. Si z es el único elemento de Q de orden 2, entonces u 2 = v 2 = w 2 = z, (u, v) = (u, w) = (v, w) = z y u, v = u, w = v, w = Q. Así que Sym({u, v, w}) está contenido en Aut(Q). También tenemos que Sym({u, v, w}) Inn(Q) = Id Q, ya que u, v y w son subgrupos normales de Q. Como Inn(Q) es un subgrupo normal de Aut(Q) y Inn(Q) = 4, se cumple que Aut(Q) Inn(Q)Sym({u, v, w}), y este último se ve que es isomorfo a S 4. Si σ Aut(Q), existen a lo más 6 posibilidades para σ(u). Una vez conocido σ(u), existen a lo más 4 posibilidades para σ(v). Como Q = u, v, entonces Aut(Q) tiene a lo más 24 elementos. Por tanto, Aut(Q) = S 4, y tenemos ii). Para iii), sea σ Aut(Q) de orden 3. Entonces σ permuta los tres subgrupos u, v y w. Si σ fija alguno de estos subgrupos, entonces los fija a todos y por lo tanto σ(u) = u 19

25 ó σ(u) = u 1, σ(v) = v ó σ(v) = v 1, σ(w) = w ó σ(w) = w 1, así que σ 2 = 1, una contradicción. Por lo tanto σ permuta los grupos u, v y w transitivamente. Como las clases de conjugación no centrales de Q son {u, u 1 }, {v, v 1 } y {w, w 1 } se tiene el resultado Anillos En esta sección, se fija la notación referente a anillos. Empezamos estudiando el producto tensorial y algunas de sus propiedades. Seguimos con las álgebras de cuaterniones sobre cuerpos. Después introducimos la notación sobre cuerpos y extensiones de cuerpos. Finalmente, definimos los anillos de enteros sobre cuerpos de números y estudiamos algunas de sus propiedades. Definición Sea R un anillo conmutativo con 1. Una R-álgebra (o álgebra sobre R) es un R-módulo por la derecha A en el que está definida una aplicación bilineal A A A (denotada por (x, y) xy) que es asociativa (x(yz) = (xy)z para todo x, y, z A), existe un elemento unidad 1 A en A que satisface 1 A x = x1 A para todo x A y para todo x, y A, r R se tiene (xr)y = x(yr) = (xy)r. Recordemos que si A es un anillo, denotamos por A al grupo multiplicativo formado por los elementos invertibles de A. Cuando el álgebra esté tomada sobre un cuerpo, utilizaremos como símbolos para el anillo conmutativo las letras F, K ó L. Si A es una R-álgebra, la R-álgebra opuesta de A, es la R-álgebra A op que coincide con A en su estructura de R-módulo y tiene la operación multiplicación definida por x y = yx, para todo x, y A. El elemento unidad de A op es 1 A op = 1 A. Sean A y B dos R-módulos por la derecha. Denotamos por Hom R (A, B) al conjunto formado por los R-homomorfismos de A en B. En estas condiciones, Hom R (A, B) tiene estructura de R-módulo por la derecha, con (f + g)(a) = f(a) + g(a) y (fr)(a) = f(ar) para todo 20

26 f, g Hom R (A, B), a A y r R. Si A coincide con B, la composición de homomorfismos de R-módulos (f g)(a) = f(g(a)), para f, g Hom R (A, A) y a A, define un producto bilineal asociativo que proporciona a Hom R (A, A) estructura de R-álgebra. Definición Una K-álgebra A es de dimensión finita si A es libre de rango finito como K-módulo. La definición anterior es equivalente a que existe una lista finita a 1, a 2,..., a n A, de manera que para cualquier a A, existe una única lista de elementos x 1, x 2,..., x n K de manera que n a = a i x i. i=1 Una K-base para A es, en este caso, una lista de elementos a 1, a 2,..., a n A que cumpla la anterior propiedad. Para poder introducir el grupo de Brauer y estudiar sus propiedades, vamos a introducir notación estándar que va a ser utilizada frecuentemente. Para el producto tensorial, tomaremos siempre R un anillo conmutativo. Definición Sean M y N dos R-módulos por la derecha. Un producto tensorial de M y N es un R-módulo por la derecha M N, junto con una aplicación bilineal M N M N, denotada por (u, v) u v tal que: i) M N está generado como R-módulo por {u v u M, v N}. ii) (Propiedad universal ) Si Φ : M N P es una aplicación bilineal de R-módulos (es decir, Φ(u, ) : N P y Φ(, v) : M P son homomorfismos de R-módulos para todo u M, v N), entonces existe un homomorfismo φ : M N P tal que φ(u v) = Φ(u, v) para todo u M y v N. La hipótesis de que la aplicación (u, v) u v es bilineal implica cuatro igualdades para todo u, u 1, u 2 M, v, v 1, v 2 N y a, b R: u (v 1 a + v 2 b) = (u v 1 )a + (u v 2 )b, 21

27 (u 1 a + u 2 b) (v) = (u 1 v)a + (u 2 v)b, u 0 = 0 u = 0, ua v = (u v)a = u (va). Teorema El producto tensorial de dos R-módulos M y N siempre existe y es único salvo isomorfismos. Demostración. Ver [Pie82, Teorema 9.1]. Sean A y B dos R-álgebras. A y B son también R-módulos por la derecha, y por lo de antes, podemos formar el producto tensorial de A y B. Además, a dicho producto tensorial podemos proporcionarle una multiplicación, dotando a A B estructura de R-álgebra. Proposición Si A y B son R-álgebras, entonces existe una multiplicación en A B que satisface (x 1 y 1 )(x 2 y 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2, para x 1, x 2 A e y 1, y 2 B. La multiplicación es asociativa y 1 A B = 1 A 1 B. Demostración. Ver [Pie82, Proposición 9.2a]. Al igual que en Teoría de Grupos, definimos el centralizador y el centro para un álgebra. Sea A un álgebra y X un subconjunto no vacío de A. El centralizador de X en A es el conjunto C A (X) = {y A yx = xy para todo x X}. El centro de A es la R-subálgebra de A: Z(A) = {y A yx = xy para todo x A}. Es sencillo comprobar que 1 A R Z(A). Decimos que A es simple si los únicos ideales biláteros de A son (0) y A. Una de las propiedades de álgebras simples es que su centro es un cuerpo ([Pie82, Proposición 12.1]). 22

28 Definición Un anillo de división es un anillo en el cual todo elemento no nulo tiene inverso. Un álgebra de división es un álgebra que es a su vez un anillo de división. Un dominio entero es un anillo que no tiene divisores no nulos de 0. Teorema Sea A un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo K. Entonces A es un álgebra de división si y sólo si A es un dominio entero. Demostración. Por una parte, las álgebras de división son dominios enteros. Supongamos ahora que A es un dominio entero y sea a cualquier elemento no nulo de A. Consideramos el homomorfismo ρ a dado por ρ a (x) = xa. Ésta es una transformación lineal en A/K, y como ba = 0 en A implica b = 0, el núcleo de ρ a es 0. Se sigue que ρ a es sobreyectiva, y por tanto, existe un elemento a A tal que a a = ρ a (a ) = 1. Tenemos que a es el inverso de a por la izquierda. Análogamente se observa que a tiene inverso por la derecha. Entonces todo elemento no nulo es una unidad y A es un álgebra de división. Definición Sean a y b elementos no nulos de un cuerpo F. Sea A un F -espacio vectorial de dimensión 4 con base 1, i, j, k y la multiplicación de los elementos de la base definida por las relaciones: i 2 = a, j 2 = b, ij = ji = k. Llamamos álgebra de cuaterniones (generalizada ) sobre F a A, y la denotamos por A = ( ) a, b F. Sean i, j, k cumpliendo las anteriores relaciones. Cuando a = b = 1, denotamos por H al álgebra de cuaterniones sobre los racionales que tiene la siguiente forma: H = Q Qi Qj Qk. Si F es un cuerpo de característica cero, entonces tomamos la siguiente notación: ( ) 1, 1 H(F ) = = H Q F = F F i F j F k. F 23

29 Lema Para cada dos elementos no nulos a y b de F, ( ) a, b F es un álgebra simple cuyo centro es F. Demostración. Ver [Pie82, Lema 1.6]. Podemos escribir ( ) a, b F = A = F A+, donde A + = if jf kf. Los elementos de A + son llamados cuaterniones puros. Para un elemento de A, x = c 0 + z, con c 0 F, z A + definimos el conjugado de x como x = c 0 z. Podemos ver fácilmente que si x, y A, d F entonces: (x + y) = x + y, (xy) = y x, x = x, d = d. Para x A definimos la norma como v(x) = xx. Si x = c 0 + ic 1 + jc 2 + kc 3, entonces v(x) = c 2 0 ac 2 1 bc abc 2 3. Además la norma conserva productos v(xy) = v(x)v(y), para todo x, y A. El resultado fundamental sobre álgebras de cuaterniones generalizadas es caracterizar cuando A = ( ) a, b F es un álgebra de división. Teorema Sea F un cuerpo. Las siguientes condiciones para un álgebra de cuaterniones A = ( ) a, b F son equivalentes: i) A es un álgebra de división. ii) x A\{0} implica v(x) 0. iii) Si (c 0, c 1, c 2 ) F 3 satisfacen c 2 0 = ac bc 2 2, entonces c 0 = c 1 = c 2 = 0. Demostración. Por un lado, i) implica ii), ya que v(x)v(x 1 ) = v(xx 1 ) = v(1) = 1. Por otro lado, i) es consecuencia de ii), porque si v(x) 0, 1 = xx v(x) 1 = v(x) 1 x x, ya que xx = x x = v(x). Si c 2 0 = ac bc 2 2 con (c 0, c 1, c 2 ) (0, 0, 0), entonces x = c 0 + ic 1 + jc 2 0 y v(x) = 0. Por lo tanto, ii) implica iii). Finalmente, veamos que iii) implica ii). Supongamos que v(x) = 0, donde x = d 0 + id 1 + jd 2 + kd 3. Entonces d 2 0 bd 2 2 = a(d 2 1 bd 2 3). Por tanto, a(d 2 1 bd 2 3) 2 = (d 2 0 bd 2 2)(d 2 1 bd 2 3) = (d 0 d 1 + bd 2 d 3 ) 2 b(d 0 d 3 + d 1 d 2 ) 2. La hipótesis de iii) 24

30 proporciona d 2 1 bd 2 3 = 0 y, por lo tanto, d 1 = d 3 = 0 por la hipótesis de iii). Así, d 2 0 bd 2 2 = 0, por lo que también d 0 = d 2 = 0. Y entonces, x = 0. Pasemos ahora a introducir notación sobre cuerpos y extensiones de cuerpos. Denotaremos por F p n al cuerpo finito con p n elementos. Dados dos cuerpos L y K con K L, diremos que L/K es una extensión de cuerpos. Si la dimensión de L como espacio vectorial sobre K es finita, digamos n, diremos que la extensión L/K es finita de grado n y lo denotaremos por [L : K] = dim K (L) = n. Si L/K es una extensión de cuerpos, un elemento α L se dirá algebraico sobre K si existe f K[X]\{0} tal que f(α) = 0. Para un elemento algebraico α L sobre K, al polinomio mónico irreducible f(x) en K[X] tal que f(α) = 0 se le llama polinomio mínimo de α sobre K. Definición Llamamos cuerpo de números a todo subcuerpo K de C que sea extensión finita de Q. Si α C, denotamos por Q(α) al menor subcuerpo que es extensión de Q y contiene a α. Por el Teorema del Elemento Primitivo se tiene que: Teorema Si K es un cuerpo de números, entonces K = Q(α) para algún número complejo α. Si K = Q(α) es un cuerpo de números, existen en general distintos monomorfismos de cuerpos σ : K C. El número de estos monomorfismos es finito y coincide con el número de raíces del polinomio mínimo de α sobre Q. A las distintas raíces del polinomio mínimo se les llama conjugados de α. Explícitamente, si [K : Q] = n y α 1,..., α n C son las distintas raíces del polinomio mínimo de α sobre Q, entonces los distintos homomorfismos de K en C (también llamados inclusiones en los complejos) están definidos por σ i (α) = α i, extendiendo por linealidad. 25

31 Sea L/K una extensión de Galois. Denotamos al grupo de Galois de L/K por Gal(L/K). El grupo de Galois está formado por los K-automorfismos de L, es decir, por aquellos automorfismos σ de L, de manera que σ(x) = x para todo x K. Definición Diremos que una extensión de Galois L/K es cíclica si Gal(L/K) es cíclico. Y diremos que L/K es abeliana si Gal(L/K) es abeliano. Sean L y K cuerpos de números tales que L/K es una extensión finita de grado n y pongamos L = K(α). Sean σ i : L C para i = 1,..., n las distintas inclusiones de L en los complejos que dejan fijo cada elemento de K. Para cada β L, definimos la norma de β en la extensión L/K como n N L/K (β) = σ i (β). Como los σ i son homomorfismos, tenemos que para cada α, β L, N L/K (αβ) = N L/K (α)n L/K (β). Si X es un subconjunto no vacío de L, utilizaremos la siguiente notación: N L/K (X) = {N L/K (x) x X}. i=1 Introducimos ahora la notación referente a cuerpos ciclotómicos. Sea n N, llamaremos raíz n-ésima de la unidad, a una raíz del polinomio X n 1 en C. El conjunto formado por dichas raíces, forman un grupo multiplicativo finito, y como todo subgrupo finito de los elementos no nulos de un cuerpo es cíclico, entonces el grupo formado por las raíces n-ésimas de la unidad es cíclico. A cada generador de dicho grupo se le llama raíz n-ésima primitiva de la unidad. Denotaremos por ζ n siempre a una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Si ζ n es una raíz n-ésima primitiva de la unidad, llamamos n-ésimo cuerpo ciclotómico al cuerpo Q(ζ n ). Se tiene que [Q(ζ n ) : Q] = ϕ(n), ya que el polinomio mínimo de ζ n sobre Q es: Φ(X) = (X ζn), i m.c.d.(i, n)=1 que llamaremos n-ésimo polinomio ciclotómico. A las extensiones del tipo Q(ζ n )/Q las llamaremos extensiones ciclotómicas de Q. En general, para un cuerpo F, diremos que F (ζ n )/F es una extensión ciclotómica de F. 26

32 El siguiente es un resultado clásico que muestra el único subcuerpo cuadrático del p-ésimo cuerpo ciclotómico para p un primo. Su prueba puede verse en [Jan73, Teorema I.9.3]. Teorema Sea p un primo impar. Entonces el p-ésimo cuerpo ciclotómico contiene exactamente un subcuerpo cuadrático sobre Q, que es Q( ε(p)p), donde ε(p) = ( 1) (p 1)/2. Exponemos ahora un resultado que nos será de utilidad. Teorema Sean p 1,..., p n primos distintos entre sí y F = Q( p 1,..., p n ). Sean q 1,..., q r cualquier otra colección de números primos distintos entre sí y distintos a p 1,..., p n. Entonces se tiene que q 1 q r no pertenece a F. Demostración. Haremos la demostración por inducción en n. Si n = 0, el resultado se cumple ya que q 1 q r / F = Q. Por inducción, supongamos n 1, y supongamos también que q 1 q r no pertenece a Q( p 1,..., p n 1 ) para cualquier colección q 1,..., q r de primos distintos entre sí y distintos de p 1,..., p n 1. Sean L = Q( p 1,..., p n 1 ) y F = L( p n ). Por reducción al absurdo, supongamos que q1 q r F. Como p n es primo y distinto de p i para cada 1 i n 1, por hipótesis de inducción, p n no pertenece a L, por lo que el X 2 p n es irreducible sobre L. Así, [F : L] = 2 y una L-base de F es {1, p n }. Como hemos supuesto que q 1 q r F, entonces existen t 0, t 1 L tales que q 1 q r = t 0 + t 1 pn. Estudiamos los distintos casos: Si t 1 = 0, entonces t 0 = q 1 q r, que no es cierto por hipótesis de inducción. Si t 0 = 0, tenemos que q 1 q r = t 1 pn, y por tanto q 1 q r p n = t 1 p n L, que no es posible por hipótesis de inducción. Si t 0, t 1 0, entonces q 1 q r = t t 0 t 1 pn + t 2 1p n, y entonces p n = q 1 q r t 2 0 t2 1 pn 2t 0 t 1 lo que otra vez no es cierto por hipótesis de inducción. L Queda por tanto demostrado, que q 1 q r no pertenece a F. 27

33 Definición Un anillo A se dice que es noetheriano si para cada sucesión de ideales I 1 I 2 I n, existe un N N tal que para todo m > N se tiene I m = I N. Sea ahora R un dominio entero con cuerpo de cocientes K, y sea A una K-álgebra de dimensión finita. Diremos que α A es entero sobre R, si existe algún polinomio mónico f(x) R[X]\{0} tal que f(α) = 0. La clausura entera de R en A es el conjunto de todos los elementos de A que son enteros sobre R. En el caso de que A sea conmutativo, entonces la clausura entera de R en A es un subanillo de A. Un dominio entero R con cuerpo de cocientes K se dice íntegramente cerrado si la clausura entera de R sobre K coincide con R. Definición Si A es un anillo conmutativo. Un ideal p de A diremos que es primo, si para cualesquiera a, b A se tiene: ab p si y sólo si a p ó b p. Un ideal m de A diremos que es maximal, si m A, y si I es un ideal de A que contiene a m, entonces se tiene: I = m ó I = A. Definición Sea R un dominio entero. Se dice que R es un dominio de Dedekind si no es un cuerpo y todo ideal propio no nulo de R se expresa de forma única como producto de ideales primos de R, salvo reordenación de factores. La siguiente proposición caracteriza los dominios de Dedekind, las indicaciones para su demostración se encuentran en [Rei75, pág. 45]. Proposición Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio entero R: i) R es un dominio de Dedekind. ii) R es un dominio noetheriano íntegramente cerrado, tal que todo ideal primo no nulo de R es un ideal maximal. 28